Předpovídat neznamená vysvětlovat

René Thom, jeden z velkých matematiků 20. století, se narodil r. 1923. Na lyceu byl premiantem nadaným nejen pro exaktní vědy, ale i pro literaturu. O tom, že si nakonec vybral matematiku, rozhodla náhoda. Bylo to totiž v r. 1939, blížila se válka a s matematikou se lze dostat spíše k dělostřelectvu než k pěchotě. Matematiku studoval na École normale supérieure, byl žákem Henri Cartana a zpočátku se věnoval teorii funkcí více komplexních proměnných. Ve Štrasburku pak navštěvoval seminář Charlese Ehresmanna, v němž se studovala algebraická topologie, fibrované prostory a kohomologie. Ze spojení těchto matematických teorií povstala myšlenka zkoumat místo analytických zobrazení zobrazení pouze diferencovatelná. První práce v tomto směru publikoval R. Thom v r. 1946 a v r. 1954 se mu podařilo rozřešit jeden z tehdejších velkých problémů – problém kobordizmů. V roce 1958 pak za tento výsledek převzal z rukou Heinze Hopfa na matematickém kongresu v Edinburku Fieldsovu medaili (to je něco jako Nobelova cena za matematiku).

Proč nelze spojit Napoleona, hořící vesnici a úplněk

V té době byl také přizván mezi Bourbaki ¹⁾ jako „cobay“, pokusné morče, na němž se měly testovat texty pro souhrnné pojednání o matematice Éléments de mathématique, které by bylo důsledně založeno na množinových a strukturních principech. Thoma však tato příliš formalistická práce nudila a na zasedáních často usínal. Nakonec se stal odpůrcem celého projektu, označil jej za ultraformalistický a napsal, že mu činnost této skupiny připadá, jako kdyby se v době Vesaliově ztotožnilo zkoumání člověka se zkoumáním mrtvol. Thom byl rovněž velkým odpůrcem množinového pojetí při vyučování matematiky: hovoří-li někdo o množinách krychlí, které jsou velké nebo modré, či o množině Pařížanů, kteří jsou holohlaví nebo bohatí, patří podle Thoma do blázince. Jedním ze základních pravidel správného myšlení je vyhýbat se směšování různých sémantických oblastí. „Snaží-li se logici přidělit všem větám sestaveným v přirozeném jazyce význam podle booleovských pravidel, docházejí k fantasmagorickým choromyslným představám univerza,“ napsal v této souvislosti.

Jde o starý problém, související s hledáním nových základů matematiky. Už B. Bolzano se přel s Franzem Exnerem o tom, zda lze utvořit pojem, pod nějž by spadaly jak svíčky, tak sylogizmy. A zakladatel matematické logiky Gottlob Frege vytýkal Husserlovi, že spojuje (představou, „koligací“) zcela nesourodé věci, např. Napoleona, hořící vesnici a úplněk, a dokonce pak říká, že jsou tři. Frege se bránil ztotožňování pojmů s jejich rozsahy (extenzemi), tedy množinami, chtěl zachovat pojmy i s jejich obsahem (intenzí). Nepodařilo se, pojmy byly vytěsněny z logiky a nahrazeny formálními predikáty či množinami. Ukázalo se, že tzv. intenzionální logiky, které chtěly obnovit vážnost intenzí, jsou v principu stejně extenzionální. René Thom přišel ve své knize o sémiofyzice Esquisse d’une sémiophysique ²⁾ s nápadem jak zachovat pojmy a zabránit směšování různých sémantických oblastí: zhruba řečeno, s pojmem není spojena jeho extenze, nýbrž jistý sémantický topologický prostor a dva předměty spadají pod pojem jen tehdy, jestliže v tomto prostoru existuje spojitá trajektorie spojující oba tyto předměty. Thomova sémiofyzika je rovněž pozoruhodným rozborem (a rehabilitací) některých základních pojmů Aristotelovy fyziky prostřednictvím aparátu topologických prostorů.

Thomova klasifikace singularit

Vraťme se však zpět k Thomovu životopisu. V letech 1954–1955 provedl americký matematik Hassler Whitney klasifikaci singularit zobrazení roviny na rovinu. Na tuto práci navázal koncem padesátých let René Thom vytvořením teorie klasifikace singularit diferencovatelných zobrazení. Zmíněnou teorii se mu však nepodařilo podložit důkazy se všemi technickými podrobnostmi; to provedl až v letech 1965–1966 americký matematik John Mather. O Thomovi se pak říkávalo, že nedokáže podat bezchybný důkaz svých vět. Říkávalo se však také, že takové důkazy umí udělat možná deset lidí, avšak tu větu, která se má dokázat, umí objevit jen jeden člověk na světě – René Thom.

Pro Thoma bylo studium singularit zobrazení důležité především proto, že každá singularita v sobě – jakožto struktuře lokální – koncentruje celou globální strukturu zobrazení – procesu. Singularity jsou jakoby místa vzniku či zániku. K tomu zavedl Thom pojem univerzálního rozvinutí, které dovoluje získat veškerou informaci o globální struktuře, jež je v dané singularitě obsažena. V roce 1966 podal Thom seznam všech možných singularit, které se mohou vyskytnout v zobrazeních prostorů s dimenzí menší nebo rovnou 4, a zároveň podal i jejich univerzální rozvinutí. K této klasifikaci však dospěl zčásti i prostředky intuitivními a „empirickými“. Přesné důkazy podal opět až Mather. Věta o sedmi typech „elementárních“ singularit nese ovšem Thomovo jméno.

Není zde ani pomyšlení na nějaký podrobnější výklad. Nejjednodušší singularitu si však můžeme vyzkoušet na jednoduchém pokusu. Mezi palec a ukazovák uchopíme proužek tužšího papíru tak, aby vytvořil oblouk. Při tlačení na tento oblouk se proužek deformuje a v určitém okamžiku „přeskočí“ na druhou stranu – vytvoří spodní oblouk. Vše ovšem závisí na stisku palce a ukazováčku – při velmi volném držení proužku přejdeme na druhou stranu plynule. Tento proces lze tedy popsat pomocí dvou parametrů: tlaku palce a ukazováčku a tlaku na oblouk. Výsledný graf – plocha nad (řídicí) rovinou obou parametrů – má tvar záhybu vycházejícího z jednoho bodu (singularity). Při pohybu v řídicí rovině se můžeme dostat na okraj záhybu a přepadnout na jednu či druhou stranu – to jsou ony přeskoky proužku papíru. Můžeme se pohybovat i tak, že singularitu objedeme „zezadu“, kde žádný záhyb není, a dostaneme se do stejné polohy bez přeskoku (plynulý přechod proužku). Už tento nejjednodušší příklad posloužil k vysvětlení některých náhlých změn (převratů) v chování různých systémů – fyzikálních, biologických, ale i společenských.

Strukturální stabilita a teorie katastrof

V roce 1961 byl Thom v Bonnu a navštívil přírodovědné muzeum v poppelsdorfském zámku. Nešel tam původně z nějakého přírodovědného zájmu, nýbrž proto, že tam matematici z Bonnu pořádali recepci. Když se procházel sály muzea, uviděl sádrový model gastrulace žabího vajíčka – a tu se mu náhle objevila asociace se singularitami, které právě studoval: model totiž vypadal jako rozvinutí jedné ze základních singularit. K tomuto nápadu se pak vrátil, začal se zabývat morfogenezí a postupně opouštěl čistou matematiku.

Výsledkem byla kniha Stabilité structurelle et morphogénese (Strukturální stabilita a morfogeneze), kterou Thom napsal v letech 1966–1967. Rukopis poslal americkému nakladatelství Benjamin. Toto nakladatelství však projevilo malý zájem o text, který byl těžký a zároveň bizarní. Rukopis tam zůstal ležet a až někdy kolem roku 1971 při nějakých změnách v nakladatelství zjistili, že kniha ještě nevyšla. Mezitím rukopis knihy koloval v opisech a kopiích. Tak se s knihou seznámil i matematik E. C. Zeeman, který pro celou Thomovu teorii vymyslel daleko prodejnější název: „teorie katastrof“. Po matematickém kongresu ve Vancouveru (1974) se teorie katastrof dostala do médií a stala se módní teorií. Mezitím ovšem kniha vyšla (francouzsky 1972, angl. překlad 1975, druhé rozšířené franc. vyd. 1977). Zároveň byla teorie katastrof některými matematiky kritizována za to, že její základní pojmy (např. bifurkace) byly známy už dávnou před Thomem (např. u J. H. Poincarého), a právě tak pojem strukturální stability (u ruského matematika A. Andronova). Thom to nepopíral, ani to, že „jeho“ větu dokázal někdo jiný. Podstatné však bylo použití těchto zčásti starých, Thomem však dále rozvinutých teorií na vysvětlení diskontinuit v přírodě, na problém vzniku a zániku tvarů, na morfologii v nejširším pojetí.

Co je jedinečné a co obecné

Je však třeba zmínit ještě jeden důležitý Thomův vklad do matematiky. Otázka byla: co je jedinečné, výjimečné (singulární) a co obecné. Zdálo by se, že k tomu se hodí teorie pravděpodobnosti: dvě přímky v rovině se obecně protnou, výjimečný případ je, když jsou rovnoběžné. V prostoru se dvě přímky obecně neprotnou. Toto pravděpodobnostní pojetí však je příliš hrubé pro potřeby matematiky. Thom dokázal přesně definovat, co to znamená, že nějaká vlastnost platí „genericky“ (nelze říci „obecně“, protože pak by nepřipouštěla výjimky), a zároveň poskytl i jistá kritéria generičnosti.

Kromě dalších knih napsal Thom také dvě (stále znovu vydávané) knihy určené široké veřejnosti: rozhovory o teorii katastrof, embryologii, morfogenezi Paraboles et catastrophes (Podobenství a katastrofy) a filozofičtější knihu, v níž ukazuje, že kromě kvantitativní a prediktivní vědy existuje i věda kvalitativní, jejíž role při vysvětlování je možná významnější a nadějnější – Prédire n’est expliquer (Předpovídat neznamená vysvětlovat; obě knihy vydalo pařížské nakladatelství Flammarion). Obsáhlý výbor z jeho obecnější článků vyšel r. 1988 pod názvem Apologie du logos (Apologie logu, Hachette, Paris).

Od roku 1961 až do svého emeritování (1988) působil Thom na novém Institut des Hautes Etudes Scientifiques v Bures-sur-Yvette nedaleko Paříže. Zemřel po dlouhé a těžké nemoci 25. října 2002.